Es bastante complejo definir las causalidades de este dicho.

Parece ser que era modismo llamar de capa alta a la buena verdura, bien cuidada de la campiña española. La venta de esa verdura era pregonada en el mercado como de capa alta.

Cuando por equis razones el labrador abandonada su campo la falta de riego y cuidado convertía su verdura en capa caída.

Casares extiende su estudio y nos da cuenta de que  también andaban de capa caída quienes por falta de dinero compraban esta verdura que por supuesto era más barata.

Otros autores insisten en sus definiciones sobre este dicho,  relacionándolo con la capa que como vestimenta se usó hasta los años 20 de nuestro siglo, pero sus definiciones no tienes asidero.
Del Origen de los Dichos – Editorial Selene

La frase se explica por sí misma. Decimos que alguien anda de capa caída cuando se lo ve mustio, con el ánimo a la altura del zócalo.

Muchos han tomado el dicho al pie de la letra y o han atribuido a la época en que esa prenda era de eso habitual: a los hidalgos empobrecidos o que perdían a favor en la corte, se los veía, según esa interpretación, con la capa puesta  al descuido, arrastrándola por el piso.

Se trata, en realidad, de la deformación de una locución latina. En el Derecho romano se denominaban capitis deminutio a la pérdida parcial de los derechos civiles. A esa condición se llegaba por deudas, por enfermedad y, en el caso de las mujeres, al contraer matrimonio.

En castellano se los llamo también derechos caídos. Y así nació un acuñado por los legos; un hibrido de ambas locuciones, andar de capa caída. Dar muestras de haber sufrido un bajón en la consideración social, hallarse con el humor a media asta. Una expresión que hoy se oye con gran frecuencia, aunque los antidepresivos están de moda. Y nadie lleve capa.
Caras – 01-09-94- Etimología – Historia  de las Frases

Impotencia y Espera
“Me gustaría engancharme con chistes en redes sociales y contestar a los que me etiquetan para que suba la escena de mi película favorita. Pero por ahora solo puedo rumiar, de capa caída, con las persianas bajas, con el privilegio de estar en casa. Sólo puedo tratar de ser cuidadosa y confiar en los que tienen responsabilidades mayores. Impotencia y espera” 
Página 12 – 18-03-20- Por Mariana Enríquez –  “La Espera”