Esta expresión no tiene ninguna relación con los bolilleros escolares. Deriva de la frase “no dar bola”, que nació junto a las mesas de billar y data de los años ’20, cuando ese juego estaba en su apogeo. Era común entonces que a la salida del colegio o cuando se hacían la rata, los estudiantes se entretuvieran en algún café anotando carambolas. En ese ambiente, los clientes más temidos por el dueño eran los jugadores novatos, capaces de desgarrar el paño de un tacazo mal dado; o con un tiro demasiado violento, romper una vidriera o un espejo. “A ese no le dan bola (o bolas)” era la consigna que recibían en tal caso los mozos.

La frase se generalizo muy pronto para significar una exclusión  deliberada.  Por sus connotaciones algo incomodas muchos la suavizaron convirtiéndola en no dar bolilla, que alterna con la anterior.

Del billar paso al futbol, como no dar pelota: tratar como a un jugador que no recibe pases.

En cualquiera de sus variantes- bola, pelota o bolilla- el sentido coincide.  No hacerle caso a alguno. Hacer de él un muerto civil.
Caras- 12- 05-94 – Etimología – Historias de frases –  “No dar Bolilla”

Referencias

“No le Damos Bolilla”
“El Gobierno salió ayer a minimizar las amenazas telefónicas al presidente Néstor Kirchner, pero, al mismo tiempo, advirtió que “no se va a modificar nada la decisión” de luchar contra la corrupción policial y política.

El ministro del Interior, Aníbal Fernández, consideró las amenazas como un asunto terminado. “No le damos bolilla”, dijo. En tanto, el secretario general de la Presidencia, Oscar Parrilli, envió un mensaje a los autores de las advertencias: “No van a lograr el objetivo que pretenden, no van a modificar nada la decisión del Gobierno de seguir adelante”.
Página 12 -11-11-03

Lito Cruz, Acusado de Violencia de Género por su Ex Pareja
«Nadie me dio bolilla; el mismo se reía y decía que nadie me iba a dar bola»
La mujer no hizo la denuncia judicial. Intentó, en 2015, hacerla en la Comisaria 17, en Las Heras y Callao. Pero, explicó: “No me tomaron la denuncia porque no tenía moretones. Lito intentó golpearme, pero yo lo esquivé y lo agarré del cuello. Entonces nadie me dio bolilla. Él mismo se reía y decía que nadie me iba a dar bola, que tenía un montón de denuncias, que no le iba a pasar nada, que él era un personaje famoso”.
La Nación- Por Fernanda Iglesias – 15-11-17